在顾问团里讨论书记的矩阵分析考试题有感，把聊天内容整理了一下写成了这篇随笔。

什么是向量？

一个 $n$维向量，在标准正交基下可以用有序数组唯一表示，例如 $$\boldsymbol x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\mathbb R^n.$$ 可以将这个数组看作一个由 $[n]$ 映射到 $\mathbb R$ 的函数，即 $$f(i)=x_i,i\in[n].$$ 这样，$\mathbb R^n$ 与 $\{f:[n]\mapsto\mathbb R\}$ 就构成了一个一一映射，我们即可用 $f(i)$ 这个函数来代替 $\boldsymbol x$。

在信号领域中，这样的函数通常被称为“离散时间函数”，因为其自变量的取值是离散的。

既然上述映射是一一的，我们也可以将离散时间函数理解为向量。同时，当离散时间函数定义域为所有整数 $\mathbb Z$ 时，其对应的向量将变为可数无穷维，这些函数构成的空间即为无穷维线性空间（这里使用最简单的函数加法和数乘定义）。一个实数域上的函数（模拟信号） $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ 可以看作是不可数无穷维的向量。

矩阵，以及张量

同理，张量也可以以上述形式找到一个等价的函数，例如考虑 $K$阶张量 $\mathcal X\in\mathbb R^{n_1\times\dots\times n_K}$，有函数 $$F(i_1,i_2,\dots,i_K)=\mathcal X_{i_1i_2\cdots i_K}.$$ 与其一一对应。于是我们找到了集合 $\{F:[n_1]\times\cdots\times[n_K]\mapsto\mathbb R\}$。$m\times n$ 矩阵作为二阶张量，自然也可以写成 $F(i,j):[m]\times[n]\mapsto\mathbb R$ 的形式。